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Filtre de Kalman et modèles de Markov cachés

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Présentation :

Ce cours propose une introduction au filtrage optimal en temps discret, c'est-à-dire au problème de l'estimation de l'état d'un système à partir d'un modèle a priori et de mesures bruitées. Deux classes de modèles a priori sont considérées, pour lesquelles il est possible de donner une solution exacte, calculable de façon récursive : (i) les systèmes linéaires gaussiens, avec le filtre de Kalman, et (ii) les chaînes de Markov à espace d'état fini, avec les équations forward-backward de Baum, l'algorithme de Viterbi, et les formules de ré-estimation de Baum-Welsh (pour l'identification des paramètres de la chaîne de Markov par l'algorithme EM). On considère aussi la classe très générale des modèles de Markov à espace d'état quelconque (qui inclut comme cas particulier les deux modèles ci-dessus, mais aussi les systèmes non linéaires avec bruits non gaussiens), pour laquelle on établit très simplement le filtre bayésien optimal. Le filtrage particulaire est présenté rapidement, qui permet d'en donner une solution numérique approchée, à l'aide de simulations de Monte Carlo en interaction.

Contenu :

1. Introduction
2. Systèmes linéaires gaussiens
3. Filtre de Kalman, et extensions
4. Systèmes non linéaires non gaussiens, et extensions
5. Filtre bayésien optimal
6. Modèles de Markov cachés
7. Equations forward / backward de Baum
8. Algorithme de Viterbi
1. Rappels de probabilités

• Cours 11/12 : polycopié (version du 2 octobre 2011)
  • transition : filtrage particulaire (demos)
  • deuxième partie : modèles de Markov cachés

Le domaine d'application principal du filtrage est la localisation, la navigation et la poursuite de mobiles, dans le domaine militaire, en robotique mobile, en vision par ordinateur, en communications sans-fil (GSM en extérieur, WiFi en indoor), où il s'agit de combiner

• un modèle a priori de déplacement du mobile,
• des mesures issues de capteurs,
• et éventuellemnent une base de mesures de références, disponibles par exemple sous la forme d'une carte numérique (modèle numérique de terrain, carte de couverture, etc.).

Dans le cas particulier des systèmes linéaires gaussiens, le problème de filtrage possède une solution explicite, appelée filtre de Kalman, qui sera étudié dans le cadre du cours UE14 du master. Dans le cas plus général des systèmes non-linéaires à bruits non-gaussiens ou des modèles de Markov cachés à espace d'état général, des méthodes de simulation de type Monte Carlo très efficaces sont apparues récemment, sous le nom de filtre particulaire. L'étude bibliographique reposera sur la lecture d'articles consacrés aux principes généraux du filtrage particulaire et aux applications en localisation, navigation et poursuite.

• Neil J. Gordon, David J. Salmond and Adrian F. M. Smith, Novel approach to nonlinear / non-Gaussian Bayesian state estimation, IEE Proceedings, Part F, Radar, Sonar and Navigation, 140, 2, 107-113, April 1993.
• Arnaud Doucet, Simon J. Godsill and Christophe Andrieu, On sequential Monte Carlo sampling methods for Bayesian filtering, Statistics and Computing, 10, 3, 197-208, July 2000.
• Fredrik Gustafsson, Fredrik Gunnarsson, Niclas Bergman, Urban Forssell, Jonas Jansson, Rickard Karlsson and Per-Johan Nordlund, Particle filters for positioning, navigation, and tracking, IEEE Transactions on Signal Processing SP-50, 2 (special issue on Monte Carlo Methods for Statistical Signal Processing), 425-437, February 2002.
• Dieter Fox, Jeffery Hightower, Lin Liao, Dirk Schulz and Gaetano Borriello, Bayesian filtering for location estimation, IEEE Pervasive Computing, 2, 3, 24-33, July / September 2003.

• Examen 11/12 : énoncé, corrigé partiel
  Équation du filtre de Kalman pour les systèmes conditionnellement linéaires gaussiens.
  Formules de re-estimation pour les moyennes et les matrices de covariance des observations dans un modèle de Markov caché à observations conditionnellement gaussiennes.
• Examen 10/11 : énoncé
  Traitement séquentiel des observations dans le filtre de Kalman.
  Estimateur risk-sensitive pour les modèles gaussiens.
• Examen 09/10 : énoncé, corrigé partiel
  Filtre de Kalman pour les systèmes linéaires gaussiens avec bruit d'observation représenté par un modèle ARMA.
  Équation forward de Baum pour les modèles de Markov cachés avec observations conditionnellement markoviennes.
• Examen 08/09 : énoncé, corrigé
  Échange d'information entre estimateurs.
  Filtres sous-optimaux basés sur une approximation gaussienne.

• Examen 07/08 : énoncé, corrigé
  Équations de Bryson-Frazier pour le lisseur de Kalman.
• Examen 06/07 : énoncé, corrigé partiel
  Estimation bayésienne variationnelle.
• Examen 05/06 : énoncé, corrigé
  Détection bayésienne dans un bruit blanc gaussien.
  Estimateur du maximum de vraisemblance pour le biais de modèle dans un système linéaire gaussien.
• Examen 04/05 : énoncé, corrigé
  Dérivation du filtre de Kalman comme cas particulier du filtre bayésien optimal.

• Examen 03/04 : énoncé, corrigé
  Équation du filtre bayésien optimal pour une classe de systèmes conditionnellement linéaires gaussiens.
• Examen 02/03 : énoncé, corrigé
  Flot de Feynman-Kac, équation du filtre bayésien optimal et espérance d'une fonctionnelle additive pour un modèle de Markov caché général.
• Examen 01/02 : énoncé, corrigé
  Espérance conditionnelle d'une fonctionnelle additive dans un système linéaire gaussien.
• Examen 00/01 : énoncé, corrigé
  Équation du filtre bayésien optimal pour une classe de systèmes non-linéaires avec bruit additif non gaussien, et analogie avec les équations de Baum forward pour un modèle de Markov caché à observations continues.
• Examen 99/00 : énoncé, corrigé
  Espérance conditionnelle d'une fonctionnelle exponentielle intégrale dans un modèle de Markov caché à observations finies.
• Examen 98/99 : énoncé, corrigé
  Estimation conjointe de l'état et du mode dans un système linéaire à paramètre markovien.
• Examen 97/98 : énoncé, corrigé
  Estimation de la position d'un récepteur GPS mobile.
  Détection de changement dans les probabilités de transition d'une chaîne de Markov cachée à observations continues.
• Examen 96/97 : énoncé, corrigé
  Formules de re-estimation pour les moyennes des observations dans un modèle de Markov caché à observations conditionnellement gaussiennes.
  Estimateur du maximum a posteriori et filtre de Kalman pour un système linéaire gaussien.
• Examen 95/96 : énoncé, corrigé
  Espérance conditionnelle du nombre de passages dans un état, du nombre de transitions entre deux états, pour un modèle de Markov caché à observations continues.
  Équation du lisseur de Kalman.

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