Inférence et exploitation de conditions nécessaires pour l'existence de polynômes de Darboux

Les systèmes dynamiques permettent de modéliser des phénomènes évoluant dans le temps selon certaines lois (par exemple physiques).
De tels systèmes n'admettent néanmoins généralement pas de solution explicite.
Ces systèmes peuvent tout de même être (tout du moins partiellement) résolus lorsqu'ils admettent des intégrales premières, fonctions qui restent constantes pour toute solution du système.
Plusieurs classes importantes d'intégrales premières sont construites en combinant suffisamment de polynômes, dits de Darboux.
On peut alors montrer la non-existence de telles intégrales premières en énumérant exhaustivement tous ces polynômes, ce qu'on ne sait faire que jusqu'à une borne sur leur degré.
Cette thèse présente des algorithmes qui génèrent des preuves qu'un système n'admet pas de polynômes de Darboux.
Nous proposons ainsi une nouvelle preuve, entièrement automatisée, que l'oscillateur de Van der Pol ne possède pas de polynôme de Darboux.
Notre approche n'est pas limitée par la dimension du système.
Nous montrons par exemple que le système physique de Shimizu-Morioka, de dimension 3, n'admet pas de polynômes de Darboux pour toute valuation de ses paramètres, répondant à une conjecture ouverte.
Enfin, nous montrons que nous pouvons exploiter les conditions nécessaires déduites automatiquement pour accélérer les procédures existantes de génération de polynômes de Darboux de degré borné.
On montre expérimentalement que cette stratégie réduit la dépendance au choix de l'ordre monomial utilisé et permet de générer des polynômes de plus haut degré pour des systèmes de dimension 3.

 

Dynamical systems can be used to model the time dependence of phenomena acting according to some law (such as physical laws).
Such systems however do not generally have closed-form solutions.
These systems can still be (at least partially) solved when they possess first integrals, which are functions that are constant on any solution of the system.
Several important classes of first integrals can be constructed by combining sufficiently many polynomials, called Darboux polynomials.
One can show the non-existence of such first integrals by exhaustive enumeration of Darboux polynomials, which can only be done up to a certain bound of their degree.
In this thesis, we present algorithms that can generate proofs that a given system does not possess any Darboux polynomials.
We provide a new, entirely automated proof that the Van der Pol oscillator does not have any Darboux polynomials.
Our approach is not limited by the dimension of the system.
For instance, we show that the Shimizu-Morioka system, of dimension 3, does not have any Darboux polynomial for all valuation of its parameters, which answers an open conjecture.
Finally, we show that we can exploit automatically inferred necessary conditions to speed up existing algorithms that generate Darboux polynomials up to a bounded degree.
We experimentally show that this strategy reduces the dependency on the chosen monomial order and is able to generate Darboux polynomials of higher degrees for systems of dimension 3.