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Filtrage bayésien optimal et approximation particulaire

ENSTA (portail des enseignants vacataires locked), cycle ingénieur 3ème année, cours B7-1
ce cours fait partie du module B7, Commande des systèmes, proposé dans les trois filières Optimisation, recherche opérationnelle et commande, Finance quantitative et Modélisation des systèmes

Objectifs :

En toute généralité, le filtrage consiste à estimer de façon récursive un état caché au vu d'observations. Le domaine d'application principal est la localisation, la navigation et la poursuite de mobiles, dans le domaine militaire, mais aussi en robotique mobile, en vision par ordinateur, en communications sans-fil (GSM en extérieur, WiFi en indoor), où il s'agit de combiner : un modèle a priori de déplacement du mobile, des mesures issues de capteurs, et éventuellement une base de mesures de références, disponibles par exemples sous la forme d'une carte numérique (modèle numérique de terrain, carte de couverture, etc.).

Dans le cas particulier des systèmes linéaires gaussiens, le problème de filtrage possède une solution explicite, appelée filtre de Kalman. Dans le cas plus général des modèles de Markov cachés, des méthodes de simulation Monte Carlo très efficaces sont apparues récemment, sous le nom de filtres particulaires. De manière intuitive, chaque particule représente ici un état caché possible, explore l'espace d'état en suivant le modèle a priori de déplacement, et est répliquée ou au contraire éliminée à la génération suivante au vu de sa cohérence avec l'observation courante, quantifiée par la fonction de vraisemblance. Ce mécanisme de mutation / sélection a pour effet de concentrer automatiquement les particules (i.e. la puissance de calcul disponible) dans les régions d'intérêt de l'espace d'état.

Plus généralement, les algorithmes particulaires permettent d'approcher des distributions de Feynman-Kac au moyen de la distribution de probabilité empirique pondérée associée à un système de particules en interaction, avec des applications qui vont bien au-delà du filtrage : simulation d'évènements rares, optimisation globale, simulation moléculaire, etc.

L'objectif de ce cours est

Programmation détaillée :

  1. Introduction au filtrage : estimation récursive d'un état caché au vu d'observations, importance du modèle a priori, estimation bayésienne, borne de Cramér-Rao a posteriori
    Filtrage particulaire pour les systèmes non linéaires à bruits non gaussiens : algorithme SIS, algorithme SIR
    Exemples en localisation, navigation et poursuite Filtrage de Kalman pour les systèmes linéaires gaussiens
  2. Méthodes de Monte Carlo : simulation selon une distribution de Gibbs-Boltzmann Méthodes de Monte Carlo : simulation selon un mélange fini
  3. Dérivation du filtre bayésien optimal : représentation probabiliste vs. équation récurrente Distribution de Feynman-Kac : représentation probabiliste vs. équation récurrente
    Approximation particulaire : algorithme SIS, algorithme SIR, formulation trajectorielle, redistribution adaptative
  4. Méthodes de population Monte Carlo : échantillonnage selon une distribution de Gibbs-Boltzmann Méthodes de branchement multi-niveaux pour la simulation d'évènements rares : taux de branchement fixe vs. taille d'échantillon fixe, sélection des niveaux (fonction d'importance optimale, seuils)
  5. Rappels : inégalité de Marcinkiewicz-Zygmund, théorème central limite «récursif»
    Théorèmes limites pour les approximations particulaires : convergence dans Lp, théorème central limite
Supports de cours et TD :

Archives (supports de cours et TD) :

Archives (sujets d'examen) :

Références bibliographiques :

ouvrages de référence

articles téléchargeables (format PDF) : méthodologie

articles téléchargeables (format PDF) : applications

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