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Fractals de Rauzy Print
Written by Anne SIEGEL   
Petite introduction aux propriétés des fractals de Rauzy
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Fractals de Rauzy: propriétés

Le vrai fractal de Rauzy

Commençons avec le fractal de Rauzy, le vrai, le seul, associé à la substitution de Tribonacci encore appelée substitution de Rauzy : s(1)=12, s(2)=13, s(3)=1.

[fractal
de Rauzy de la substitution de tribonacci]

Parmi ses nombreuses propriétés, citons:

 

  • Stable par un échange de morceaux : si on pousse le bleu vers la droite, et si on remonte le rouge vers la gauche, tout en descendant le vert vers la gauche, on obtient exactement le même ensemble.

  • Compact.
  •  

  • Autosimilaire : le vert est une copie du bleu qui a été rétrécie puis tournée. Le rouge est une copie du vert qui a été rétrécie dans les mêmes proportions et tournée du même anglportions et tournée du même angle.

  • Connexe, simplement connexe : le dessin ne peut pas etre coupé en deux et ne contient pas de trou.
  • pavage périodique : si on décale le dessin dans deux directions données, on recouvre exactement toute la page, sans qu'autre chose que les bords des figures ne se recouvrent....
  • pavage auto-similaire : on peut positionner les pièces du fractal selon un arrangement tel qu'en décomposant chaque pièce avec les règles d'autosimilarité qui gouvernent le fractal, on retrouve exactement le même pavage.
  • Engendre un pavage périodique de l'espace : prenez le fractal de Rauzy (qui est plan), posez le sur un feuille de papier dans l'espace, remontez chacune des couleurs d'une hauteur déterminée... On obtient un joli volume dans l'espace, cylindrique ayant pour base le fractal de Rauzy.
    Si on recopie ce volume vers le haut et sur les côtés, on obtient un recouvrement régulier de tout l'espace.




Généralisation

Pour toute substitution de type Pisot et unimodulaire, qui vérifie en plus une condition particulière (la condition de coincidences) -- mais pour l'instant on ne connait aucune substitution de ce type sans coincidences -- on peut construire un ensemble du même genre encore appelé fractal de Rauzy de la substitution. Des exemples sont les suivants :

 

On connait un certain nombre de propriétés des fractals de Rauzy :

  • Ils sont tous compacts.
  • Ils sont tous autosimilaires : on peut découper l'ensemble en plusieurs bouts qui sont chacun constitués de certains de ces mêmes bouts préalablement rétrécis et tournés.
  • Ils ne sontpas tous connexes : le troisième exemple peut-être clairement découpé en deux bouts disjoints. Par contre les deux premiers exemples sont connexes. Il existe des critères pour savoir si un fractal de Rauzy est connexe.
  • Ils ne sont pas tous simplement connexes : le premier exemple est plein de trous. Là encore, des critères existent.
  • On a un critère pour savoir si un fractal de Rauzy engendre un pavage périodique. Toutes les substitutions testées à ce jour le vérifie. Ainsi, pour le premier exemple, si on le décale correctement, les trous se bouchent exactement sans se recouvrir.
 

 

  • Pour les fractals qui engendrent un pavage périodique, on peut les remonter en cylindre comme le fractal de Rauzy (en remontant chacune des couleurs d'une hauteur donnée). On obtient alors un volume qui, décalé régulièrement, rempli tout l'espace, et fournit donc un pavage périodique de l'espace. Mais attention, ce volume peut avoir une forme surprenante : dans l'exemple ci-contre, on va obtenir un gruyère. Ce qui n'empêche pas les vides du gruyère de se combler sans se superposer lorsqu'on déplace le gruyère régulièrement.
 


Pour en savoir plus




Question de recherches associées



  • Théorie ergodique: tous les systèmes substitutifs Pisot unitaire ont-ils spectre purement discret ?
  • Géométrie: Construire des partitions de Markov pour des endomorphismes du tore qui ne sont pas de type Pisot.
  • Topologie : Propriétés géométriques des fractals de Rauzy
  • Systèmes de numération : exploitation des fractals pour obtenir des informations sur les numérations en base non entière.
  • Analyse diophantienne ; Fractions continues généralisées. Considerer une suite de substitutions pour approximer des vecteurs, éventuellement non algébriques.
  • Géométrie discrète et substitution multi-dimensionnelles : Approximer/reconnaitre  des plans discrets
  • Morphismes de groupes libres: Représenter les morphismes de groupes libres iwip et en déduire une mesure sur l'espace des laminations d'un groupe libre.



Etat des lieux, 2001


Systèmes substitutifs

 

Une substitution est à la base un objet qui s'applique sur des lettres, mais on peut canoniquement étendre sa définition et appliquer une substitution à tout mot infini (unilatéral comme bilatéral) en remplaçant chacune des lettres du mot par son image par la substitution.


Etant donné une substitution sur $d$ lettre, un mot infini bilatéral sur l'alphabet $\{1, \dots, d\}$ est appelé point périodique de la substitution si une itération finie de la substitution sur ce mot redonne le même mot. Si la substitution mélange suffisamment les lettres (condition de primitivité), les points périodiques d'une substitution ont même ensemble de sous-mots finis ou facteurs. En rassemblant dans un sous-ensemble de $\{ 1, \dots, d\}^{\mathbb Z}$ tous les mots bilatéraux qui ont ce même ensemble de facteurs, on obtient un ensemble compact qui est stable par le décalage sur $\{ 1, \dots, d\}^{\mathbb Z}$. Ce système dynamique symbolique est minimal et uniquement ergodique.


Les systèmes ainsi obtenus, appelés systèmes substitutifs, présentent des propriétés d'autosimilarité du fait qu'ils sont engendrés par des points pét qu'ils sont engendrés par des points pé\-rio\-di\-ques pour la substitution. On retrouve ainsi ces systèmes lorsqu'on code l'action de diverses transformations géométriques ou arithmétiques qui ont elles-mêmes des propriétés d'auto-induction.


Le premier exemple significatif est la substitution de Prouhet-Thue-Morse définie par $\sigma(1)=12$, $\sigma(2) =21$. En 1907, Thue étudia la combinatoire du point fixe de cette substitution dans le cadre de l'étude de suites symboliques sans facteur carré. En 1921, M. Morse a utilisé cette substitution pour construire des géodé\-siques récurrentes non fermées sur des surfaces à courbure négative. Plus tard, il a été prouvé que le système symbolique associé à cette substitution est une extension à deux points de l'odomètre dyadique.


Un certain nombre de résultats ont été obtenus sur la relation existant entre certains systèmes substitutifs et des échanges de morceaux tels que des intervalles du cercles ou des parties autosimilaires d'espaces euclidiens. G. Rauzy (19981), G. Rauzy et P. Arnoux (1992), B. Solomyak (1992), M. Boshernitzan et I. Kornfeld (1995), S. Ferenczi (1995), C. Holton et L. Zamboni (1998), P. Arnoux et S. Ito (1998) ont ainsi prouvé des résultats dans ce domaine.


Entre autres exemples, la substitution de Fibonacci est définie par $\sigma(1)=12$, $\sigma(2)=1$. Cette substitution a des propriétés combinatoires et diophantiennes très particulièet diophantiennes très particulières : elle engendre un système qui d'une part code l'action d'une translation sur le tore de dimension 1, d'autre part contient des mots dont la complexité combinatoire est minimale parmi les suites non ultimement périodiques.


Le fractal de Rauzy


En 1981 G. Rauzy a généralisé les propriétés dynamiques de la substitution de Fibonacci à une substitution sur 3 lettres appelée substitution de Tribonacci : $\sigma(1)=12$, $\sigma(2)=13$, $\sigma(3)=1$.

Notons qu'à toute substitution $\sigma$ sur $d$ lettres est associée une matrice $d\times d$, dont le coefficient d'indice $(i,j)$ est le nombre de $i$ qui apparaissent dans $\sigma(j)$. De la même manière, tout mot fini sur $d$ lettres est linéarisable en un vecteur de ${\mathbb N}^d$ constitué du nombre d'occurrences dans le mot de chaque lettre de l'alphabet. La matrice de la substitution apparaît alors comme la linéarisation de la substitution.


La matrice de la substitution de Tribonacci $\sigma$ a pour polynôme caractéristique $X^3 - X^2 - X -1$, ses valeurs propres étant un réel $\beta > 1$ et deux complexes conjugués $\alpha$, $\overli conjugués $\alpha$, $\overline{\alpha}$. Le nombre $\alpha$ est appelé nombre de Tribonacci.


En particulier, cette matrice admet dans ${\mathbb R}^3$ une droite dilatante et un plan contractant. On peut représenter le point fixe de $\sigma$ en une ligne brisée de ${\mathbb R}^3$ en remplaçant chaque des lettres du point fixe par le vecteur de base de ${\mathbb R}^3$ correspondant. Cette ligne brisée a la propriété de rester à distance bornée de la direction dilatante de la matrice, s'enroulant autour de cette droite. L'adhérence des projections des sommets de la ligne brisée sur le plan contractant parallèlement à la droite dilatante constitue un sous-ensemble compact ${\mathcal R}$ du plan contractant de la matrice, appelé fractal de Rauzy.


Trois sous-ensembles du fractal de Rauzy se distinguent : pour chaque lettre, on appelle cylindre l'adhé\-ren\-ce des projections des sommets de la ligne brisée qui appartiennent au vecteur canonique correspondant à la lettre. Ces cylindres constituent un recouvrement de ${\mathcal R}$, et Rauzy montrent que leurs intersections sont de mesure nulles. Les cylindres pavent donc le fractal de Rauzy.


De plus, sur la ligne brisée, on se déplace de sommet en sommet en se déplacer par un des 3 vecteurs de la base canonique. Ainsi, dans le plan contractant, on peut translater chaque cylindrpeut translater chaque cylindre par le projeté du vecteur canonique correspondant, tout en restant dans ${\mathcal R}$. On définit ainsi échange de morceaux dans le fractal de Rauzy.


Il est naturel de coder, dans la partition définie par les cylindres, l'action de cet échange de morceaux sur ${\mathcal R}$. Rauzy montre que l'application de codage est injective en mesure, surjective dans le système substitutif associé à la substitution de Tribonacci, et réalise ainsi un isomorphisme mesurable entre l'échange de morceaux de ${\mathcal R}$ avec le décalage sur le système substitutif.


L'autosimilarité du système substitutif se transmet graphiquement sur l'ensemble ${\mathcal R}$ par le fait que chacun des sous-ensembles de ${\mathcal R}$ n'est rien d'autre que la copie de ${\mathcal R}$ multipliée par un des complexes $\alpha$, $\alpha^2$ ou $\alpha^3$.


De plus, on peut quotienter ${\mathbb C}$ par un réseau de telle façon que l'échange de morceaux sur ${\mathcal R}$ se quotiente en une translation sur un tore, et ce passage au quotient est neutre, au sens qu'il est injectif en mesure. Ceci signifie plus graphiquement que les décalés de ${\mathcal R}$ selon un réseau donné ne s'intersectent pas. Par le théorème de Kronecker, ces décalés recouvrent ${\mathbb C}$.


Notons pour obtenir ces résultats, Rauzy montre que le fractal de Rauzy peut aussi être défini numérique\-ment comme l'ensemble des sommes de séries en $\alpha$ dont les digits sont toutes les suites de $0,1$ qui ne contiennent pas trois 1 consécutifs : ${\mathcal R} = \{ \sum_{i \geq 0} \varepsilon_i \, \alpha^i; \, \varepsilon_i=0,1; \, \varepsilon_i\varepsilon_{i+1}\varepsilon_{i+2} =0 \} \subset {\mathbb C}$.


L'utilisation couplée de la dynamique, des propriétés d'autosimilarité et de la théorie des nombres permet finalement de montrer le résultat suivant, qui s'énonce de plusieurs manières :

  • géométriquement : le fractal de de Rauzy engendre un pavage périodique et auto-similaire de ${\mathbb C}$,

  • dynamiquement : le système dynamique engendré par la substitution de Tribonacci est mesurablement isomorphe à une rotation sur un tore,

  • spectralement : ce système dynamique est à spectre purement discret.


On peut se demander si cette propriété est généralisable à une classe de substitutions : quelles sont les substitutions qui engendrent un pavage périodique autosimilaire ? Autrement dit, lesquelles codent l'action d'une rotation sur un tore ? D'un point de vue spectral, de telles substitutions engendrent un système dynamique qui est à spectre purement discret. Une forme générale de la question des pavages est alors : quelles sont les substitutions qui engendrent un système symbolique dont le spectre est discret ?


Théorie spectrale des systèmes substitutifs


Une réponse précise a été donnée à cette dernière question pour les substitutions de longueur constante, durant les années 1960-1970, avec les travaux de T. Kamae, J. C. Martin et F. M. Dekking en particulier. On sait ainsi que le facteur équicontinu maximal des systèmes substitutifs de longueur constante $l$ est une translation sur le produit direct du groupe des entiers $l$-adiques ${\mathbb Z}_l$ et d'un groupe fini. Il y a de plus un isomorphisme mesurable entre un système substitutif de longueur constante et son facteur équicontinu maximal si et seulement si la substitution vérifie une condition combinatoire simple dite de coincidences. Il existe des exemples élémentaires comme la substitution de Morse qui ne vérifient pas cette condition.


En longueur non constante, G. Rauzy a abordé cette question avec l'étude précédemment détaillée du système associé à la substitution de Tribonacci. B. Host a ensuite fait un pas significatif en montrant que les fonctions propres des syue les fonctions propres des systèmes substitutifs primitifs sont continues. Ainsi, très opportunément, les deux principales classifications dynamiques que sont la classification par isomorphisme mesurable et celle par isomorphisme topologique sont équivalentes dans le cas des systèmes substitutifs primitifs. La situation est donc notablement plus simple que dans le cas des automorphismes du tore classifiés par Adler et Weiss.


B. Host donne aussi une caractérisation des valeurs propres des systèmes substitutifs. En particulier, le spectre d'un système substitutif se divise en deux parties, la première, d'origine arithmétique, et la seconde, d'origine plus combinatoire, étant aussi liée aux mots de retour associés au point fixe de la substitution.


Concrètement, ces travaux fournissent un cadre pour les espaces dans lesquels une représentation a une chance d'exister : si un système substitutif est isomorphe à une rotation sur un groupe compact, cette rotation doit ``contenir'' toutes les valeurs propres du système. Ainsi, le groupe compact sera un tore de dimension $n$ si le spectre du système est purement irrationnel et de rang $n$, il contiendra des groupes finis si le spectre contient des rationnels, des groupes $p$-adiques s'il y a suffisamment de valeurs propres rationnelles comme dans le cas de la longueur constante, voire des solénoides. Géométriquement, si le système substitutif code de manière injective tif code de manière injective une action dans un espace donné, cet espace doit contenir des composantes réelles ou $p$-adiques en fonction de l'irrationnalité du spectre. Ces travaux fournissent de plus un réseau susceptible de générer le pavage périodique de l'espace.


A l'intérieur de ce cadre, on peut maintenant chercher une bonne représentation des systèmes substitutifs généralisant le fractal de Rauzy, c'est à dire un ensemble à structure autosimilaire et une action sur cet ensemble dont le codage donne le système substitutif. Définition générale des fractals de Rauzy On peut construire un fractal de Rauzy pour toute substitution dont la matrice a un espace dilatant de dimension 1 et telle que la ligne brisée correspondant à un de ses points fixes reste à distance bornée de cette droite dilatante. Ceci est assuré dans le cas où toutes les valeurs propres de la matrice sauf une sont de module inférieur à 1 strictement. Ainsi, la valeur propre dominante de la matrice est un nombre de Pisot, et une telle substitution est dite de type Pisot.


Pour toute substitution de type Pisot, on appelle fractal de Rauzy de la substitution la projection dans l'hyperplan contractant de la matrice de la substitution, des sommets du linéarisé du point fixe de la substitution. Le fractal de Rauzy est alors recouvert par $d$ cylindres (où $d$ est le nombre de lettres de l'alphabet) correspondant à chacun des vecteurs de la base canonique. Exemple 1. Exemple 2. Exemple 3. Sur le fractal est défini un pseudo-échange de morceaux : chacun des cylindres peut-être translaté tout en restant dans le fractal de Rauzy, par la projection dans l'espace contractant du vecteur de base correspondant.


Les $d$ cylindres constituent par construction un recouvrement du fractal de Rauzy, mais rien ne permet d'affirmer qu'il s'agit d'une partition mesurable, c'est-à-dire que les cylindres s'intersectent sur un ensemble de mesure nulle. Pour cela, le déterminant de la matrice de la substitution doit être $\pm 1$ : la substitution est alors dite unimodulaire. Cette condition est nécessaire car les systèmes non unimodulaires admettent une composante spectrale rationnelle. On ne sait pas si elle est suffisante.


Les travaux de B. Host ont permis de mettre en évidence une condition suffisante sur les substitutions unimodulaires de type Pisot sur 2 lettres pour a Pisot sur 2 lettres pour avoir une partition : cette condition purement combinatoire, dite de coïncidences, généralise la condition de F. M. Dekking sur les substitutions de longueur constante et signifie que les points périodiques de la substitution ont suffisamment de parties communes. P. Arnoux et S. Ito ont généralisé cette condition pour les substitutions de type Pisot unimodulaires sur plus de 2 lettres (1998). Sous cette condition, la première propriété du fractal de Rauzy se généralise : pour toute substitution sur $d$ lettres, unimodulaire, de type Pisot et vérifiant la condition de coïncidences, le fractal de Rauzy associé à la substitution admet une partition mesurable en $d$ cylindres et est associé à un échange de morceaux tel que le codage de l'action de l'échange de morceaux selon les cylindres donne exactement le système symbolique associé à la substitution.


Le système substitutif est ainsi conjugué en mesure à un échange de morceaux dans le fractal de Rauzy de la substitution. Notons qu'on ne connaît aucun exemple de substitution de type Pisot sans coïncidences.


De plus, le fait que les $d$ cylindres constituent une partition du fractal de Rauzy implique que le fractal de Rauzy a encore une structure autosimilaire.


Condition de pavage ? Système à spectre discret ?

 

La question qui se pose alors est la généralisation du fait que le fractal de Rauzy associé à la substitution de Tribonacci engendre un pavage périodique du plan. On peut toujours quotienter le fractal de Rauzy d'une substitution unimodulaire, de type Pisot et avec coïncidences, par un réseau tel que les vecteurs de l'échange de morceaux soient égaux par passage au quotient. Le système substitutif est alors représenté par une rotation sur un tore, dont la théorie spectrale nous dit, sous une condition combinatoire d' absence de cobords non triviaux, qu'elle est le facteur équicontinu maximal du système substitutif (B. Host, A. Livshits). En particulier, ceci signifie que les décalés du fractal de Rauzy d'une substitution par le réseau précédent recouvrent l'espace. Ces décalés pavent alors l'espace si et seulement si le système substitutif est à spectre discret, mais la théorie spectrale des substitutions est très pauvre sur ce sujet : les travaux de B. Host, A. Livshits puis M. Hollander ont montré que sur deux lettres, la condition de coïncidences est encore suffisante pour que le spectre soit discret. B. Solomyak, utilisant les $\beta$-développements, a trouvé des exemples de substitutions Pisot sur titutions Pisot sur plus de 2 lettres qui sont à spectre discret. P. Arnoux et S. Ito ont donné une condition suffisante pour que le spectre soit discret, mais difficile à vérifier. En particulier, il a été impossible de prouver que la condition de coïncidences est encore suffisante pour qu'il y ait pavage/spectre discret.


La question reste donc ouverte de savoir quels sont les systèmes substitutifs unimodulaires de type Pisot sur plus de 2 lettres qui sont à spectre discret. Excepté pour la substitution de Tribonacci et ses généralisations naturelles, très peu d'exemples et aucun contre-exemples ne sont connus. Graphiquement, tous les exemples semblent vérifier cette condition. On dispose depuis Barge et Kwaplisz d'une condition équivalente d'un point de vue combinatoire, cependant, on ne sait pas encore montrer que toutes les substitutions la vérifient, mis-à-part certaines familles de beta-substitutions. 
Cette question concerne aussi les systèmes de type Pisot non unimodulaires : à part pour les substitutions sur 2 lettres (où la condition de coïncidences répond à la question), aucun résultat n'est connu sur le caractère discret ou non des systèmes non unimodulaires. Seul leur spectre est partiellement connu. Encore plus généralement, quelle est la nature des systèmes substitutifs qui ne sont pas de type Pisot ? A-t-on encore parfois affaire à des rotations ? A des échanges de morceaux ? Très peu de résultats existent sur ce sujet, la plupart provenant de la théorie spectrale n'étant pas explicites.

 
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