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C

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conc [] X X .
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ou
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Plusieurs versions du prédicat de concaténation : classique, avec itérateur*, avec implication, pour listes fonctionnelles*, et pour listes en différence*.

tex2html_wrap_inline56836-Calcul. n.m. Calcul dont les termes sont les tex2html_wrap_inline56836-termes* et les lois sont celles de la tex2html_wrap_inline56836-équivalence*. Le tex2html_wrap_inline56836-calcul a été conçu par Church pour remplacer la théorie des ensembles dans son rôle de théorie fondamentale des mathématiques pour éviter les paradoxes d'auto-appartenance. Malheureusement, les mêmes paradoxes peuvent être construits dans le tex2html_wrap_inline56836-calcul.

Peu après sa conception, le tex2html_wrap_inline56836-calcul se révélera avoir la même puissance de calcul que d'autres formalismes candidats à représenter les fonctions calculables (machine de Turing, etc.) [Rosser 84]. Pour cette raison, et parce que ses termes peuvent être interprétés comme des fonctions, il est le formalisme naturel pour modéliser les langages de programmation fonctionnelle.

Le tex2html_wrap_inline56836-calcul a la propriété de Church-Rosser*, mais pas celle de la normalisation forte*.

Church a proposé une variante typée du tex2html_wrap_inline56836-calcul [Church 40] pour éviter les paradoxes. À nouveau, ce formalisme n'a pu servir de théorie fondamentale des mathématiques, mais cette fois-ci parce que trop faible. En revanche, il est le plus simple d'une longue liste de formalismes qui peuvent modéliser les types en programmation (tex2html_wrap_inline55796 cube de Barendregt*).

tex2html_wrap_inline56836-Calcul simplement typé. n.m. Calcul dont les termes sont les tex2html_wrap_inline56836-termes simplement typés* et les lois sont celles de la tex2html_wrap_inline56836-équivalence*. Le tex2html_wrap_inline56836-calcul est le plus simple des calculs du cube de Barendregt*. Il a la propriété de Church-Rosser* et celle de la normalisation forte*.

Calcul des séquents. n.m. (rel. Gentzen*) [Gallier 86, Gallier 91, Lalement 90] Présentation symétrique de règles de déduction* qui permet de raisonner sur les preuves. Le calcul des séquents est défini par un ensemble de règles de déduction qu'il faut juxtaposer pour construire des preuves. Les séquents qu'on peut trouver à la racine d'une preuve sont des théorèmes. Les règles de déduction pour le calcul des prédicats de premier ordre (souvent appelé LK) sont présentées dans la figure 4.

figure6054
Figure 4: Règles du calcul des séquents LK.

Ici, la virgule qui figure dans les antécédents* et les conséquents* est interprétée comme un constructeur de séquence. Si on l'interprète comme un constructeur de multi-ensembles, on peut oublier les règles d'échange. Si on l'interprète comme un constructeur d'ensembles, on peut aussi oublier les règles de contraction. On peut enfin oublier les règles d'affaiblissement en remplaçant la règle axiome par la suivante.

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Dans la suite, et dans les autres articles, on interprète la virgule de façon ensembliste.

Le calcul des séquents est qualifié de symétrique car il traite de la même façon les connecteurs qui apparaissent à gauche et ceux qui apparaissent à droite.

Le principal résultat du calcul des séquents est le Hauptsatz* : la règle de coupure est redondante et peut être éliminée (avec des précautions si des axiomes sont rajoutés au calcul des séquents).

On peut restreindre syntaxiquement les règles du calcul des prédicats de façon à modéliser exactement le calcul des prédicats intuitionniste. Pour cela, il suffit de restreindre les règles d'affaiblissement et de la négation (tex2html_wrap_inline53594) à droite en exigeant que tex2html_wrap_inline53598 soit vide [Kleene 71]. Une autre restriction, plus simple et plus radicale, exige que tous les conséquents soient au plus des singletons. C'est le système qui est souvent appelé LJ. Cette dernière restriction n'est pas nécessaire logiquement, malgré ce qui est souvent laissé entendre. En revanche, elle est commode pour définir des fragments du calcul des séquents interprétables en programmation logique (voir figure 5). Ces restrictions sont équivalentes et il suffirait d'admettre un tex2html_wrap_inline53598 non-vide dans l'une des deux règles pour retrouver le calcul des prédicats classique.

figure6173
Figure 5: Règles du calcul des séquents intuitionnistes.

C'est ce calcul qui sert de base logique à tex2html_wrap_inline56836Prolog. Il pourrait aussi servir pour Prolog, mais ce n'est pas l'habitude. Dans ce cadre, l'antécédent des séquents modélise le programme et le conséquent modélise le but*. La notion de preuve uniforme* fournit une sémantique opérationnelle pour ces langages. On peut définir d'autres calculs des séquents pour d'autres logiques (par exemple, la logique linéaire [Girard et al. 89]), et pour ces calculs définir une notion de preuve uniforme et rechercher les fragments de ces calculs pour lesquels la prouvabilité uniforme est complète. Miller considère que ces fragments sont tous des langages de programmation logique [Miller 91c, Miller que ces -1]. j"nod l'9s -1]. HREF="n u.>Calcul des séAlonzo (Éisss-UG> * et les URRYM>Gentzen<édent déveloetorédicat de">*. Il a la propri règlch-Rosser
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