ASPI : Applications statistiques des systèmes de particules en interaction

Évaluation de méthodes de simulation d'évènements rares pour le dimensionnement et l'analyse de systèmes complexes de défense

Localisation : ONERA, Châtillon (Hauts-de-Seine)

Responsables : Jérôme Morio (tél. : 01 46 73 49 09, e-mail : jerome.morio@onera.fr) et Hélène Piet-Lahanier (e-mail : helene.piet-lahanier@onera.fr)

Directeur de thèse : François Le Gland (tél. : 02 99 84 73 62, e-mail : legland@irisa.fr)

Connaissances souhaitées : probabilités appliquées et statistiques (méthodes de Monte Carlo, estimation de densité, etc.), programation MATLAB

Financement : Cette thèse sera financée par une bourse de la DGA (Délégation Générale à l'Armement), ou par une bourse ONERA.

Sujet : Dans l'analyse des systèmes complexes, un des problèmes récurrents est l'évaluation de l'impact sur les performances globales du système de l'occurrence d'un évènement rare au sens probabiliste du terme, c'est-à-dire un évènement dont la probabilité de réalisation est très faible. Il s'agit d'une étape très importante pour l'application étudiée d'autant plus que l'évaluation de la fiabilité du système est une démarche cruciale remettant éventuellement en question le projet. Dans un premier temps, pour pouvoir tenir compte d'un tel type d'évènement, il est nécessaire de parvenir à évaluer sa probabilité. Au-delà de l'évaluation de la probabilité d'un évènement rare élémentaire, comme une panne ou un dysfonctionnement sur un composant de base du système, caractérisée par exemple par le dépassement d'un seuil par une certaine variable, il est nécessaire de pouvoir estimer la densité de probabilité des variables impliquées. L'estimation de cette densité s'appuie sur un ensemble de méthodes paramétriques (maximum de vraisemblance) ou non-paramétriques (histogramme, estimateur à noyau, etc.). Dans un deuxième temps, l'évaluation de l'impact de l'évènement rare doit s'effectuer en prédisant le comportement du système en sa présence. Cette tâche s'appuie le plus souvent sur une simulation Monte Carlo, mais une simulation ordinaire n'est pas adaptée au problème car la rareté de l'évènement le rend non observable sur un nombre limité de tirages, et il est donc nécessaire d'avoir recours à des approches différentes.

L'objectif de cette thèse est double. Il s'agit tout d'abord d'évaluer les méthodes d'estimation de densité les mieux adaptées au contexte et analyser dans quelle mesure il est possible de déterminer un modèle probabiliste global du système à partir des densités estimées des évènements de base qu'ils soient rares ou non. Parallèlement, on évaluera les approches existantes permettant d'évaluer les performances d'un système en présence d'évènements rares à l'aide de simulations de type Monte Carlo, en particulier les approches mettant en œuvre des systèmes de particules en interaction, recensées dans le programme de recherche RARE de l'INRIA, et appliquées par exemple au cas du trafic aérien, dans le cadre du projet européen iFLY :

• les méthodes d'échantillonnage pondéré, ou importance sampling, qui consistent à effectuer les simulations pour un système différent, pour lequel l'évènement n'est pas rare, et à pondérer les simulations obtenues de façon à corriger le biais introduit,
• les méthodes de branchement multi-niveaux, ou splitting, comme par exemple l'algorithme RESTART, qui consistent à inclure l'évènement rare dans une suite décroissante d'évènements intermédiaires de plus en plus rares, et à dupliquer ou au contraire éliminer les simulations selon que l'évènement de niveau suivant est atteint ou non, jusqu'au dernier niveau correspondant à l'évènement critique.

Références :

• James A. Bucklew, Introduction to Rare Event Simulation, Springer Series in Statistics, Springer, Berlin, 2004.
• Frédéric Cérou, Pierre Del Moral, François Le Gland and Pascal Lezaud, Limit theorems for the multilevel splitting algorithm in the simulation of rare events, in Proceedings of the 2005 Winter Simulation Conference, Orlando, pp. 682-691, December 2005.
• Frédéric Cérou, Pierre Del Moral, François Le Gland and Pascal Lezaud, Genetic genealogical models in rare event analysis, ALEA, Latin American Journal of Probability and Mathematical Statistics, 1, pp. 181-203, 2006.
• Frédéric Cérou and Arnaud Guyader, Adaptive multilevel splitting for rare event analysis, Stochastic Analysis and Applications, 25, 2, pp. 417-443, March 2007.
• Pierre Del Moral, Feynman-Kac Formulae, Probability and its Applications, Springer, New-York, 2004.
• Pierre Del Moral and Josselin Garnier, Genealogical particle analysis of rare events, The Annals of Applied Probability, 15, 4, pp. 2496-2534, November 2005.
• Pierre Del Moral and Pascal Lezaud, Branching and interacting particle interpretation of rare event probabilities, in Stochastic Hybrid Systems : Theory and Safety Critical Applications, Lecture Notes in Control and Information Sciences 337, pp. 277-323, Springer, Berlin, 2006.
• Marnix J. J. Garvels and Dirk P. Kroese, A comparison of RESTART implementations, in Proceedings of the 1998 Winter Simulation Conference, Washington, pp. 601-608, December 1998.
• Paul Glasserman, Philip Heidelberger, Perwez Shahabuddin and Tim Zajic, Splitting for rare event simulation : Analysis of simple cases, in Proceedings of the 1996 Winter Simulation Conference, San Diego, pp. 302-308, December 1996.
• Paul Glasserman, Philip Heidelberger, Perwez Shahabuddin and Tim Zajic, A large deviations perspective on the efficiency of multilevel splitting, IEEE Transactions on Automatic Control, AC-43, 12, pp. 1666-1679, December 1998.
• Paul Glasserman, Philip Heidelberger, Perwez Shahabuddin and Tim Zajic, Multilevel splitting for estimating rare event probabilities, Operations Research, 47, 4, pp. 585-600, July-August 1999.
• Reuven Y. Rubinstein and Dirk P. Kroese, The Cross-Entropy Method, Information Science and Statistics, Springer, New York, 2004.