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Localisation : IRISA / INRIA Rennes
Équipe : ASPI (Applications statistiques des systèmes de particules en interaction)
Responsable : Frédéric Cérou (tél. : 02 99 84 72 29, e-mail : fcerou@irisa.fr)
Connaissances souhaitées : probabilités, méthodes de Monte Carlo, programation MATLAB ou SCILAB
Sujet : Pour évaluer numériquement la probabilité d'un évènement rare (comme la probabilité d'atteinte d'un ensemble critique par un processus de Markov) mais critique pour le fonctionnement sain ou la sécurité d'un système, des méthodes de Monte Carlo avec branchement ont été introduites sous le terme importance splitting et ont été étudiées en utilisant le cadre très général introduit par DelMoral des approximations particulaires des flots de Feynman-Kac.
Étant donné une famille emboîtée d'ensembles contenant l'ensemble critique, il s'agit de simuler des trajectoires indépendantes du processus de Markov, de multiplier les trajectoires ayant réussi à atteindre le niveau critique supérieur et de terminer les trajectoires ayant échoué. La probabilité d'atteindre l'ensemble critique est alors estimée comme le produit des probabilités d'atteinte d'un niveau à partir du niveau critique inférieur, chacune de ces probabilités de transition étant estimé comme la proportion des trajectoires simulées ayant réussi à atteindre le niveau critique supérieur. Idéalement, les ensembles intermédiaires doivent être choisis de façon à ce que ces probabilités de transition soient raisonnablement petites, par exemple de l'ordre de 1/10, ce qui signifie que 10% des trajectoires simulées devraient atteindre en principe le niveau critique supérieur.
En pratique, il est très difficile de fixer ces niveaux (et leur nombre) à l'avance, et l'objectif du stage est d'étudier une stratégie adaptative dans laquelle les niveaux sont fixés au fur et à mesure des simulations. Conceptuellement, on peut même dire que ces nouveaux algorithmes s'affranchissent de la notion de niveau, et reposent sur l'idée qu'il suffit à chaque étape de simuler des trajectoires indépendantes, de multiplier les 10% meilleures (à savoir celles qui se sont approchées au plus près de l'ensemble critique), et de terminer les autres 90%. En un certain sens, la moins performante des 10% meilleures trajectoires simulées détermine un niveau virtuel. Par construction, cet algorithme garantit 10% de succès pour le passage d'un niveau virtuel au niveau virtuel supérieur, mais en revanche le nombre de niveaux virtuels qui devront être franchis pour atteindre l'ensemble critique est inconnu à l'avance.
Il s'agira de concevoir les algorithmes exploitant cette idée, d'étudier leurs propriétés mathématiques, et de les mettre en œuvre dans un certain nombre d'applications où la sécurité doit être prise en compte (trafic aérien, réseaux de télécommunications, etc.).
Références :