6.1. Définitions

Un code cyclique (k, n) est un code linéaire (k, n) tel que toute permutation circulaire d'un mot du code est encore un mot du code.

Exemple :

• Un code cyclique (1, 2) possède les mots de code suivants : {01, 10} ou {00, 11}, mais pas {01, 11}.
• Un code cyclique (1, 3) possède les mots de code suivants : {000, 111}.

On appelle période du polynôme H(x) le plus petit entier u tel que H(x) divise xu+1.

Un polynôme est irréductible s'il ne possède aucun diviseur de degré supérieur à zéro.

Si la période d'un polynôme irréductible est égale à n-k alors le polynôme est dit primitif.

6.2. Propriétés/autocorrection

Un code cyclique (k, n) est un code polynômial dont le polynôme générateur divise xn + 1.

Les dispositifs de codage et de décodage sont identiques à ceux des codes polynômiaux.

Les codes cycliques sont principalement utilisés pour leur capacité de correction.

Les codes cycliques (k, n) dont le polynôme générateur est primitif et tel que n=2n-k + 1, sont des codes de Hamming.

6.3. Codes correcteurs performants

Les codes BCH (Bose-Chaudhuri-Hocquenghem) sont ceux qui ont la plus grande capacité de correction d'erreurs indépendantes pour une redondance et une longueur données. Leur rendement n'est pas très élevé. Ce sont une extension des codes cycliques, ils sont non pas construit sur un alphabet binaire mais un alphabet composé d'un grand ensemble de symboles.

Les codes RS (Reed-Solomon) sont des codes correcteurs très puissants. Ils peuvent être présentés comme des codes BCH dans lequel chaque bit des mots du code est remplacé par un entier défini modulo 2v (avec n=2v-1). La distance d'un code RS(m, n) est égale à n-m+1.