De nombreux problèmes de calcul scientifique réclament la résolution de
systèmes linéaires. Des algorithmes récents et performants pour résoudre ces
systèmes sont basés sur les méthodes de Krylov. L'espace des solutions de
celles-ci est un espace de Krylov et la solution est alors définie par une
condition d'orthogonalité dite de Galerkin.

Dans une première partie, on modifie la définition de la solution pour la
résolution de systèmes mal-conditionnés, en introduisant une nouvelle technique
de régularisation basée sur des filtres polynomiaux. Le point fort de cette
méthode est que la forme des filtres n'est pas fixée par la méthode mais peut
être quelconque, et donc dictée par les spécificités du problème.

Dans la seconde partie, on modifie l'espace des solutions pour accélérer la
convergence. Deux techniques sont explorées. La première permet de recycler un
espace de Krylov utilisé pour résoudre une première équation. La seconde, basée
sur des techniques de déflation, cherche à atténuer l'effet néfaste des plus
petites valeurs propres. Cette dernière peut, de plus, s'affiner lors de la
résolution de plusieurs systèmes, jusqu'à éliminer complètement l'impact de ces
petites valeurs propres.

Tous ces algorithmes sont implémentés et testés sur des problèmes issus de
l'analyse d'images et de la mécanique. Cette validation numérique confirme
les résultats théoriques.